Równania

Równanie – wyrażenie, które składa się z dwóch lub więcej wyrażeń połączonych ze sobą znakiem równości.

Występująca w równaniu wartość zmienna jest nazywana niewiadomą. Wyrażenie po lewej stronie znaku równości to lewa strona równania, natomiast to po prawej – prawa strona równania.

Rodzaje równań

• równanie liniowe (równanie algebraiczne stopnia pierwszego)

1. z jedną niewiadomą (tzw. równanie jednej zmiennej): ax + b = 0 (a, b – ustalone liczby; x – liczba niewiadoma)
2. z dwiema niewiadomymi: ax + by = c (a, b, c – ustalone liczby; x, y – liczby niewiadome)
3. postać graficzna równania liniowego:

• równanie kwadratowe

ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0; a, b, c – ustalone liczby ze zbioru)

1. równanie niezupełne (jest to takie równanie kwadratowe, w którym a ≠ 0, ale b ═ 0 lub c ═ 0):
   ax² + 0 + c = 0, czyli ax2 + c = 0
2. równanie zupełne (jest to takie równanie kwadratowy, w którym wszystkie współczynniki a, b, c są różne od zera): ax² + bx + c = 0
3. rozwiązywanie równania kwadratowego

Rozwiązywanie równania

Rozwiązując równanie dążymy do tego, by lewa strona równania była równa prawej. Musimy ustalić dziedzinę równania oraz wykonać elementarne przekształcenia, dzięki którym równanie stanie się elementarne (proste), np. x = 2.

Rozwiązać równanie oznacza znaleźć wszystkie możliwe rozwiązania (pierwiastki) tego równania. Pierwiastek równania to każda liczba, która podstawiona w miejsce niewiadomej czyni równanie prawdziwym.

Przykład: ax² + bx + c = 0, gdzie a ═ 1, b ═ 8, c ═ 12
Postać równania: 1x² + 8x + 12 = 0

Obliczamy wyróżnik kwadratowy, czyli deltę (∆), aby dowiedzieć się ile dane równanie ma rozwiązań; jeśli Δ ma wynik dodatni, będzie to oznaczało, że równanie ma 2 rozwiązania; jeśli ujemny to będzie oznaczało, że równanie nie ma rozwiązania, a jeśli Δ=0 to równanie ma jedno podwójne rozwiązanie:

∆ ═ b² - 4ac
∆= 82 – 4 • 1 • 12
∆= 64 – 48 ∆= 16

Możliwe rozwiązania:

, czyli , więc x₂ = -2

, czyli , więc x₁ = -6

Równanie oznaczone - takie, które ma jedno rozwiązanie, np. 2x + 3 = x,

Równanie nieoznaczone - takie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań, np. cos(x) = 0,

Równanie tożsamościowe - takie, które spełnia każdy obiekt z jego dziedziny, np. sin2x + cos2x = 1,

Równanie sprzeczne - takie, które nie ma rozwiązań, np. cos(x) = 0,

Równania równoważne – takie, które mają te same zbiory rozwiązań, np. x + 4 = 12 i 2x – 5 = 1.

Układy równań

Układ równań to połączenie kilku równań:

, gdzie x, y – liczby niewiadome

Układy równań można podzielić na:

1. układy oznaczone, które posiadają tylko i wyłącznie jedno rozwiązanie;
2. układy nieoznaczone, które posiadają nieskończoną ilość rozwiązań;
3. układy sprzeczne, które nie mają w ogóle rozwiązania.

Sposoby rozwiązywania układu równań:

1. za pomocą metody podstawiania (jest to metoda, która polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej, np. x, z jednego równania, a następnie podstawienie jej do drugiego równania), np.

2. za pomocą metody przeciwnych współczynników (polega na takim wprowadzeniu zmian w równaniach, iż pojawiają się w nich przeciwne współczynniki przy tych samych zmiennych, co w konsekwencji umożliwi pozbycie się jednej z niewiadomych, a tym samym pozwoli w prosty sposób na obliczenie drugiej z nich), np.

Równania wielomianowe

Znajdziesz je w artykule o wielomianach.