Wielomiany

Wyrażenia algebraiczne są to liczby i litery, które są połączone ze sobą znakami działań matematycznych i nawiasami, np.

• a + 2 (suma a i 2);
• a – 3 (różnica a i 3);
• a ◦ 4 (iloczyn a i 4);
• a ÷ 6 (iloraz a i 6).

Jednomiany – są to wyrażenia algebraiczne, które składają się z liczby lub litery bądź też z iloczynu liczb i liter; współczynnikiem liczbowym jednomianu nazywa się liczbę, która występuje na początku uporządkowanego wyrażenia algebraicznego, np. 3x, 8ry. Jednomian to iloczyn czynników, w którym każdy czynnik jest liczbą lub pewną zmienną.

Wielomian to suma jednomianów.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia oraz gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe.

Wyrazy podobne – są to uporządkowane jednomiany, które różnią się między sobą tylko znakami, np. 2a, -13a, 67a.

Redukcja wyrazów podobnych – jest to dodawanie lub odejmowanie wyrazów podobnych, np. 3x + 2z – x + 2 = 3x – x + 2z + 2 = 2x + 2z + 2.

Jednomianem jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję określoną wzorem , gdzie , . Jeśli , to liczbę naturalną n nazywamy stopniem jednomianu. Przyjmujemy też, że funkcja stała , gdzie , jest jednomianem stopnia zero, funkcja stała zaś przyjmująca wartość zero jest jednomianem zerowym, który nie ma określonego stopnia – oznaczamy ją .

Wielomianem stopnia jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję , gdzie . Liczby nazywamy współczynnikami wielomianu.

Wielomian jednej zmiennej rzeczywistej jest sumą jednomianów jednej zmiennej rzeczywistej. Jednomiany podobne redukują się w zapisie. Wielomian zapisujemy tak, by poszczególne jednomiany miały różne stopnie, np. wielomian zapisujemy: .

Uporządkowanie wielomianów

Wielomian może być uporządkowany rosnąco lub malejąco, według wykładników potęg zmiennej. Jeśli wielomian jest uporządkowany, to poszczególne jednomiany nazywa się wyrazami wielomianu, a współczynniki kolejnych jednomianów – współczynnikami wielomianu.

Przykłady:

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

• W1(x) = 10x³ + 5x² + 7x + 10,
• W2(x) = x⁵⁰ + 2x²¹ + 4x,
• W3(x) = x + 2.

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

• P1(x) = 10 + 7x + 5x² + 10x³,
• P2(x) = 4x + 2x²¹ + x⁵⁰,
• P3(x) = 2 + x.

Równość wielomianów

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Działania arytmetyczne na wielomianach

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

1. Dodawanie wielomianów
   Aby dodać dwa wielomiany o tej samej zmiennej rzeczywistej , trzeba dodać ich wyrazy podobne, a potem uporządkować otrzymany wielomian.
2. Odejmowanie wielomianów
   Aby od wielomianu W (x) odjąć wielomian P (x), trzeba do wielomianu W (X) dodać wielomian, którego współczynniki są liczbami przeciwnymi do odpowiednich współczynników wielomianu P (x), a potem uporządkować otrzymany wielomian.
3. Mnożenie wielomianów
   Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, trzeba pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu, a następnie wykonać redukcję wyrazów podobnych i uporządkować wielomian.
   Stopień iloczynu dwóch wielomianów różnych od wielomianu zerowego jest równy sumie stopni czynników. Jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest wielomianem zerowym, wówczas iloczyn też jest wielomianem zerowym.
4. Dzielenie wielomianów
   Dzielenie wielomianów jest podobne do dzielenia liczb całkowitych.
   Wielomian W (x) jest podzielny przez wielomian P (x), różny od wielomianu zerowego, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian Q (x), że W (x) = Q (x) • P (x). Wielomian Q (x) nazywamy ilorazem wielomianu W (x) przez P (x). Mówimy, że wielomian P (x) jest dzielnikiem wielomianu W (x).

Pierwiastek wielomianu. Twierdzenie Bѐzouta

Pierwiastek powyższego wielomianu to jego miejsce zerowe. Powiemy zatem, że liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0.

Pierwiastków wielomianu dotyczy twierdzenie Bѐzouta – francuskiego matematyka, żyjącego w XVIII wieku. Zajmował się algebrą i balistyką. Twierdzenie, któremu nadano nazwę od jego nazwiska, znane było już wcześniej.

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x – a.

Jeżeli wielomian , gdzie i , o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek wymierny, który można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, to licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego , natomiast mianownik – dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej.

Wielokrotny pierwiastek wielomianu

Liczbę a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez . Liczbę k nazywamy krotnością pierwiastka.

Rozkład wielomianu na czynniki

Rozłożyć wielomian na czynniki to znaczy przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów stopnia różnego od zera.

Przykład:

Wielomian W (x) = 2x² + 4x – 6 można przedstawić w postaciach:

• W (x) = 2 (x² + 2x – 3) = 2 (x + 3) (x – 1),
• W (x) = (2x + 6) (x – 1) lub
• W (x) = (x + 3) (2x – 2)

Nie zawsze da się rozłożyć wielomian na czynniki. Poniżej przykład wielomianu nierozkładalnego, którego wyróżnik jest ujemny.

• W (x) = x² + x + 1

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki co najwyżej stopnia drugiego o współczynnikach rzeczywistych.

Rozkład wielomianu niezerowego o współczynnikach rzeczywistych na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych jest jednoznaczny.

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty. Można więc rozłożyć go na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Wielomiany można rozkładać na czynniki, stosując:

1. wyłączenie wspólnego czynnika poza nawias, np. W (x) = 2x⁵ - 6x⁴ = 2x⁴(x – 3)

2. wzory skróconego mnożenia, np.

• W (x) = x⁴ - 81 = (x² - 9) (x² + 9) = (x -3) (x + 3) (x² + 9),
• W(x) = x³ - 27 = x³ - 3³ = (x – 3) = (x – 3) (x² + 3x + 9),
• W(x) = x² + 10x + 25 = (x² + 5)²

3. grupowanie wyrazów, np. W(x) = x³ - x² + 9x – 9 = x² (x – 1) + 9 (x – 1) = (x – 1) (x² + 9),

W(x) = x³ - 7x + 6 = x³ - x – 6x +6 = x(x² - 1) – 6(x – 1) = x(x – 1) (x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1) (x² + x – 6),

W(x) = (x – 1) (x² - 2x + 3x – 6) = (x -1) [x(x – 2) + 3(x – 2)] = (x – 1) (x – 2) (x +3).

4. „metoda prób” Gdy wielomian jest podany w postaci iloczynowej, to można łatwo odczytać jego pierwiastki. Np. wielomian W(x) = 2x⁴(x – 3) ma dwa pierwiastki: 0 (czterokrotny) oraz 3; wielomian W(x) = (x – 3) (x + 3) (x² + 9) ma dwa różne pierwiastki, 3 oraz -3, a wielomian W(x) = (x² + 5)² nie ma pierwiastków.

Wielomian jednej zmiennej stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.

Najmniejsza wspólna wielokrotność oraz największy wspólny dzielnik wielomianów

Najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) danych wielomianów nazywamy taki wielomian stopnia możliwie najniższego, dla którego dane wielomiany są jego dzielnikami.

Największym wspólnym dzielnikiem (NWD) danych wielomianów nazywamy wielomian stopnia możliwie najwyższego, który jest dzielnikiem każdego z danych wielomianów.

Równania wielomianowe

Równanie W(x) = 0, gdzie , nazywamy równaniem wielomianowym (algebraicznym) stopnia n.

Rozwiązać równanie wielomianowe W(x) = 0, to wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu W(x) lub wykazać, że wielomian nie ma pierwiastków.

Aby rozwiązać równanie wielomianowe W(x) = 0, należy rozłożyć wielomian W(x) na czynniki możliwe najniższego stopnia, a następnie skorzystać z własności iloczynu (iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest zerem).

Nierówności wielomianowe

Nierównością wielomianową (algebraiczną) stopnia n nazywamy nierówność zapisaną w postaci W(x) ≤ 0 lub W(x) < 0 lub W(x) ≥ 0 lub W(x) > 0, gdzie , .