Typy ciągów liczbowych
- ciąg liczbowy nieskończony – funkcja, której argumentami są kolejne liczby naturalne 1,2,3… (a: N+ → R),
- ciąg liczbowy skończony – funkcja, której argumentami jest określona ilość liczb naturalnych, np. 1,2,…,8 (a: <1,2,…,8> → R),
- ciąg rekurencyjny – ciąg, w którym znana jest pierwsza liczba ciągu oraz reguła, która pozwala na obliczenie kolejnych liczb ciągu,
- ciąg rosnący – to ciąg an, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność an + 1 > an,
- ciąg malejący – to ciąg an, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność
an + 1 < an, - ciąg nierosnący – ciąg an, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność
an + 1 ≤ an, - ciąg niemalejący – ciąg an, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność
an + 1 ≥ an, - ciąg stały – ciąg an, w którym wszystkie wyrazy danego ciągu są sobie równe.
Ciąg arytmetyczny
Jest to ciąg an dla którego istnieje taka liczba r, że spełniony jest warunek dla n ≥ 1, gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego;
- jeżeli r > 0 to ciąg arytmetyczny jest ciągiem rosnącym;
- jeżeli r < 0 to ciąg arytmetyczny jest ciągiem malejącym;
- jeżeli r = 0 to ciąg arytmetyczny jest ciągiem stałym.
Wyraz n-ty ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r wyraża się wzorem:
an = a1 + (n – 1) • r
Suma początkowych wyrazów
Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: .
Ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny – ciąg an którego istnieje taka liczna q, że spełniony zostaje zawsze warunek, że an + 1 = an • q, gdzie q jest nazywane ilorazem ciągu geometrycznego; jeśli:
- q < 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem naprzemiennym;
- q = 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem stałym;
- 0 < q < 1 i a1 < 0 to ciąg geometryczny nazwywamy ciągiem rosnącym;
- q > 1 i a1 < 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem rosnącym;
- 0 < q < 1 i a1 > 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem malejącym;
- q > 1 i a1 > 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem malejącym.
Wyraz n-ty ciągu geometrycznego oblicza się za pomocą wzoru: an = a1 • qn - 1,
gdzie a1 jest pierwszym wyrazem ciągu, a q jest ilorazem ciągu geometrycznego.
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: .