Wartościami logicznymi są prawda (oznaczana symbolem 1) i fałsz (oznaczany symbolem 0).
Zdaniem nazywamy wyrażenie, któremu możemy przypisać jedną z wartości logicznych. Przykładowe zdanie: „Jem kanapkę” – o tym zdaniu możemy powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.
Zdania oznaczamy symbolami p i q.
Przykład:
„Na Ziemi żyją ludzie” (zdanie prawdziwe), „Słońce krąży wokół Ziemi” (zdanie fałszywe).
Wyrażenie „Chodź na spacer” nie jest zdaniem i nie jest sprawdzalne (nie można określić, czy jest prawdziwe, czy fałszywe).
Zdanie złożone składa się ze zdań prostych połączonych spójnikami.
spójnik |
symbol logiczny |
nazwa zdania złożonego |
i |
|
koniunkcja |
lub |
|
alternatywa |
jeżeli…, to… |
|
implikacja |
wtedy i tylko wtedy, gdy... |
|
równoważność |
nieprawda, że… |
¬ albo ~ |
negacja |
Koniunkcja
Symbol koniunkcji to . Koniunkcją nazywamy takie zdanie, gdzie „p i q”. Oznaczamy je wzorem p ^ q.
Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. Koniunkcja jest fałszywa jeśli co najmniej jedno zdanie jest fałszywe.
„Tata Pawła ma samochód i ma laptopa”.
p |
q |
p ^ q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Alternatywa
Symbol alternatywy to . Alternatywą nazywamy takie zdanie, gdzie „p lub q”. Oznaczamy je wzorem p v q.
Alternatywa jest prawdziwa jeśli co najmniej jedno zdanie jest prawdziwe. Alternatywa jest fałszywa jeśli oba zdania są fałszywe.
„Dziś wieczorem pójdę do babci lub do Ani”.
p |
q |
p v q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Implikacja
Symbol implikacji to . Implikacją nazywamy takie zdanie, gdzie „jeśli p, to q”. Oznaczamy je wzorem p => q.
Pierwsze zdanie implikacji nazywa się poprzednikiem, drugie – następnikiem. Implikacja jest fałszywa jeśli poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy.
„Jeżeli odrobisz lekcje, to dostaniesz deser”.
p |
q |
p => q |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Równoważność
Symbol równoważności to . Równoważnością nazywamy takie zdanie, gdzie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”. Oznaczamy je wzorem p <=> q.
Równoważność jest prawdziwa jeśli oba zdania mają tę samą wartość logiczną. Równoważność jest fałszywa jeśli oba zdania mają różną wartość logiczną.
„Liczba naturalna jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5”.
p |
q |
p <=> q |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Negacja
Symbol negacji to ¬ (albo ~). Negacją zdania p nazywamy takie zdanie, gdzie „nieprawda, że p”.
„Nieprawda, że słonie mają skrzydła”.
p |
q |
1 |
0 |
0 |
1 |
PRAWA LOGICZNE
Prawem logicznym (prawem rachunku zdań, tzw. tautologią) nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości zdań je tworzących.
Prawa rachunku zdań
• Prawo tożsamości:
Każde zdanie implikuje samo siebie.
• Prawo wyłączonego środka:
Albo zdanie jest prawdziwe, albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie (Z dwóch zdań jedno jest zawsze prawdziwe).
• Prawo sprzeczności:
Nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie oraz jego zaprzeczenie.
• Prawo podwójnego zaprzeczenia:
Dowolne zdanie jest równoważne podwójnej negacji tego zdania.
• Prawo przemienności koniunkcji:
• Prawo łączności koniunkcji:
• Prawo przemienności alternatywy:
• Prawo łączności alternatywy:
• Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:
• Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji:
• Prawo zaprzeczenia implikacji:
Prawo de Morgana
• Pierwsze prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji):
Zaprzeczeniem alternatywy dwóch zdań jest koniunkcja zaprzeczeń tych zdań.
• Drugie prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy):
Zaprzeczeniem koniunkcji dwóch zdań jest alternatywa zaprzeczeń tych zdań.