Ułamki

Ułamki zwykłe

Ułamek zwykły to liczba, która składa się z dwóch części:

• licznika, czyli liczby nad kreską, która oznacza, ile takich samych części bierzemy z jednej całości, oraz
• mianownika, czyli liczby pod kreską, która oznacza na ile równych części została podzielona całość;

pomiędzy licznikiem i mianownikiem występuje kreska, którą nazywa się kreską ułamkową, np. .

Ułamki zwykłe dzielimy na:

• ułamki właściwe, czyli takie, w których licznik jest liczbą mniejszą od mianownika;
• ułamki niewłaściwe, w których licznik jest liczbą większą lub taką samą jak liczba w mianowniku (jeżeli w ułamku niewłaściwym liczba licznika i mianownika jest taka sama, wówczas jest on równy jedności, np.  = 1).

Liczba mieszana

Jest to liczba, która składa się zarówno z liczby całkowitej, jak i z ułamka zwykłego, np. . Każdą liczbę mieszaną da się zamienić na ułamek zwykły, by to zrobić należy:

1. pomnożyć liczbę mianownika przez liczbę całości, a następnie dodać do otrzymanego iloczynu liczbę licznika;
2. otrzymaną sumę umieszczamy w miejsce licznika, zaś mianownik pozostaje bez zmian;
3. np.  = .

Na ułamkach zwykłych można wykonywać następujące działania:

• dodawanie ułamków zwykłych o tych samych licznikach - działanie to polega na dodaniu do siebie liczników, podczas gdy mianownik pozostaje niezmieniony,
  np.  +  = ;
• odejmowanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach – działanie to polega na odjęciu od siebie liczników, podczas gdy mianownik pozostaje bez zmian, np.  -  = ;
• skracanie ułamków zwykłych – działanie to polega na podzieleniu licznika i mianownika ułamka przez taką samą liczbę, która jednak musi być różna od zera,
  np.  = 6 :  : 2 = ; (ułamek zwykły, którego nie da się skrócić nazywamy ułamkiem nieskracalnym);
• rozszerzanie ułamków zwykłych – działanie, które polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę, która musi być różna od zera, np.  = ;
• sprowadzanie ułamków zwykłych do wspólnego mianownika – działanie, które polega na rozszerzeniu bądź skracaniu ułamków, tak aby miały takie same mianowniki, np.  +  =  +  = ;
• dodawanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach – działanie, które polega na sprowadzeniu ułamków do tego samego mianownika i wykonaniu następnie działania dodawania;
• odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach – działanie, które w pierwszej kolejności wymaga sprowadzenia ułamków do tego samego mianownika; następnie należy wykonać działanie odejmowania ułamków;
• mnożenie ułamków zwykłych:

1. mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą polega na pomnożeniu liczy przez licznik ułamka oraz przepisaniu ułamka bez zmian, np.  ◦ 6 = ;
2. mnożenie ułamków przez siebie – działanie, które wymaga pomnożenie przez siebie liczników oraz mianowników, np.  ◦  = ;
3. mnożenie liczb mieszanych polega na zamianie liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe, a następnie na wykonaniu działania mnożenia.

• potęgowanie ułamków zwykłych – polega na podniesieniu do określonej potęgi zarówno licznika, jak i mianownika, np.()⁴ = ;
• dzielenie ułamków zwykłych polega na zastosowaniu, tzw. odwrotności ułamka w przypadku ułamka zwykłego, który występuje na pozycji dzielnika (odwrotność ułamka zwykłego polega na zamienieniu miejscami licznika z mianownikiem), a następnie na wykonaniu działania mnożenia ułamków zwykłych, np.  :  =  ◦ 5 = .

Ułamki dziesiętne

Ułamek dziesiętny to postać ułamka, w której nie występuje kreska ułamkowa, a jej miejsce jest zajęte przez przecinek dziesiętny. Ma on za zadanie oddzielać część całkowitą od części ułamkowej, np. 0,3.

W ułamku dziesiętnym:

• pierwszą cyfrę po przecinku nazywa się częścią dziesiątą;
• drugą cyfrę po przecinku nazywa się częścią setną;
• trzecią cyfrę po przecinku nazywa się częścią tysięczną;
• czwartą cyfrę po przecinku nazywa się częścią dziesięciotysięczną.

Działania na ułamkach dziesiętnych:

• dodawanie ułamków dziesiętnych odbywa się na takiej samej zasadzie jak dodawanie liczb naturalnych, np. 0,136 + 0,65 = 0,136 + 0, 650 = 0, 786;
• odejmowanie ułamków dziesiętnych:

1. najlepiej to działanie wykonuje się w słupku (odjemną zapisać należy nad odjemnikiem, tak by przecinek znajdował się pod przecinkiem);
2. najpierw należy odjąć od siebie części setne, następnie dziesiętne, itd. np. 0,25 – 0,12 = 0,13.

• Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę 10 powoduje przesunięcie przecinka o jedno miejsce w prawo, np. 0,13 ◦ 10 = 1,3;
• Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę 100 powoduje przesunięcie przecinka o dwa miejsca w prawo, np. 0,13 ◦ 100 = 13;
• Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę 1000 powoduje przesunięcie przecinka o trzy miejsca w prawo, np. 0,13 ◦ 1000 = 130;
• Dzielenie ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000, 10 000, itd. Polega na przesunięciu przecinka o tyle miejsc w lewo, ile zer jest w dzielniku, np. 1,4 ÷ 100 = 0, 014;
• Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę lub inny ułamek dziesiętny polega na pomnożeniu przez siebie liczb, tak jakby były one zwykłymi liczbami naturalnymi; następnie należy oddzielić przecinkiem w iloczynie tyle miejsc dziesiętnych, licząc od prawej strony do lewej, ile miejsc po przecinku jest razem w obu liczbach;
• Potęgowanie ułamków dziesiętnych polega na tym, iż należy pomnożyć przez siebie taką liczbę ułamków dziesiętnych, jaki jest wykładnik potęgi,
  np. (0,1)⁴ = 0,1 ◦ 0,1 ◦ 0,1 ◦ 0,1 = 0,0001;
• Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły – działanie to wymaga zapisania ułamka dziesiętnego w postaci ułamka zwykłego; następnie, w miarę możliwości, powinno się dokonać działania skracania ułamka zwykłego (aby dokonać zamiany odwrotnej, czyli ułamka zwykłego na dziesiętny, powinno się podzielić licznik przez mianownik).

Ułamki dziesiętne można podzielić na:

• Ułamki dziesiętne skończone – jest to ułamek dziesiętny, który składa się ze skończonej (określonej) liczby cyfr po przecinku, np. 0,78;
• Ułamek dziesiętny nieskończony – jest to ułamek dziesiętny, który składa się z nieskończonej liczby cyfr po przecinku, np. 0,45…;
• Ułamek dziesiętny nieskończony okresowy – jest to ułamek dziesiętny, który składa się z nieskończonej liczby cyfr po przecinku, ale od pewnego momentu cyfry te zaczynają się powtarzać, np. 0, 666666… = 0, (6);
• Ułamek dziesiętny przybliżony – jest to rodzaj ułamka dziesiętnego, w którym została uwzględniona tylko określona liczba cyfr po przecinku, np. 0, 675498 ≈ 0, 68.