Podstawowe działania arytmetyczne

Liczby naturalne (N) – są to liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Liczby całkowite (C) – są to liczby 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3…

Najmniejszą liczbą naturalną jest liczba zero (0), każda liczba naturalna jest o 1 większa od poprzedniej oraz o 1 mniejsza od kolejnej.

Cztery podstawowe działania arytmetyczne:

1. Dodawanie liczb – suma,
2. Odejmowanie liczb – różnica,
   Liczba 0 jest neutralnym elementem dodawania, gdyż: a + 0 = a,
3. Mnożenie liczb – iloczyn
   Liczba 1 jest neutralnym elementem mnożenia, gdyż: a · 1 = a,
4. Dzielenie liczb – iloraz. Dzielenie to odwrotność mnożenia. Podzielenie a przez b, to znalezienie takiej liczby c, że c · b = a. Liczbę a nazywamy dzielną, b - dzielnikiem a c - ilorazem.

       Kolejność wykonywania działań

• najpierw należy wykonać zawsze działania w nawiasach;
• jeśli nawiasów nie ma, bądź w nawiasach znajdują się różne działania należy wpierw wykonać potęgowanie; następnie mnożenie lub dzielenie; a dopiero na samym końcu dodawanie lub odejmowanie;

(27 – 7) ◦ (33 ÷ 3 + 44 ÷ 11) = 20 ◦ (11 + 4) = 20 ◦ 15 = 300.

Liczby pierwsze – są to liczby ze zbioru liczb naturalnych, dla których dzielnikiem może być liczba jeden, albo one same, np. 1, 3, 7, 11, itd.

Cechy podzielności

• liczba jest podzielna przez 2, jeśli cyfra jedności tej liczby jest parzysta;
• liczba jest podzielna przez 5, jeśli cyfrą jedności tej liczby jest 0 lub 5;
• liczba jest podzielna przez 10, jeśli cyfrą jedności tej liczby jest 0;
• liczba jest podzielna przez 100, jeśli jej cyfry dziesiątek i jedności są równe 0;
• liczba jest podzielna przez 25, jeśli jej dwie ostatnie cyfry to: 25, 50, 75 lub 00;
• liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę, która można podzielić przez 4;
• liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr tworzy liczę, która jest podzielna przez 3;
• liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę, która jest podzielna przez 9;
• liczba jest podzielna przez 6, jeśli można ją podzielić również przez 2 i 3;
• liczba jest podzielna przez 12, jeśli jest ona podzielna również przez 3 i 4;
• liczba jest podzielna przez 15, jeśli można ją również podzielić przez 3 i 5.

Liczby wymierne

Liczby ujemne – jest to zbiór liczb, których wartość jest mniejsza od zera.

Z dwóch liczb ujemnych ta jest większa, która jest bliżej zera na osi liczbowej. To znaczy ta która ma mniejszą wartość bezwzględną.

Liczby przeciwne – są to liczby, które na osi liczbowej są równo oddalone od zera; różnią się one między sobą wyłącznie znakiem.

Do zbioru liczb wymiernych należą wszystkie liczby całkowite oraz ułamki.

Liczba jest wymierna, jeżeli możemy ją przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi, a mianownik jest różny od zera.

Zbiór liczb wymiernych – są to wszystkie te liczby, które można przedstawić pod postacią ułamka zwykłego.

Liczby rzeczywiste (R) to liczby wymierne i niewymierne.

Własności działań w zbiorze liczb rzeczywistych:

• przemienność mnożenia

ab = ba

• przemienność dodawania

a + b = b + a

• łączność dodawania

(a + b) + c = a + (b + c)

• łączność mnożenia

(a • b) • c = a • (b • c)

• rozdzielność mnożenia względem dodawania

a • (b + c) = ab + Ac

Działania na potęgach:

Jeżeli m, n ∈ R i a, b ∈ R+ albo m, n ∈ Z i a, b ∈ R i a ≠ 0 i b ≠ 0, to:

(iloczyn potęg o takich samych pierwiastkach)

(iloczyn potęg o takich samych podstawach)

(potęga iloczynu)

(potęga ilorazu)

(potęga potęgi)