Logika

Wartościami logicznymi są prawda (oznaczana symbolem 1) i fałsz (oznaczany symbolem 0).

Zdaniem nazywamy wyrażenie, któremu możemy przypisać jedną z wartości logicznych. Przykładowe zdanie: „Jem kanapkę” – o tym zdaniu możemy powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdania oznaczamy symbolami p i q.

Przykład:

„Na Ziemi żyją ludzie” (zdanie prawdziwe), „Słońce krąży wokół Ziemi” (zdanie fałszywe).

Wyrażenie „Chodź na spacer” nie jest zdaniem i nie jest sprawdzalne (nie można określić, czy jest prawdziwe, czy fałszywe).

Zdanie złożone składa się ze zdań prostych połączonych spójnikami.

Koniunkcja

Symbol koniunkcji to . Koniunkcją nazywamy takie zdanie, gdzie „p i q”. Oznaczamy je wzorem p ^ q.

Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. Koniunkcja jest fałszywa jeśli co najmniej jedno zdanie jest fałszywe.

„Tata Pawła ma samochód i ma laptopa”.

Alternatywa

Symbol alternatywy to . Alternatywą nazywamy takie zdanie, gdzie „p lub q”. Oznaczamy je wzorem p v q.

Alternatywa jest prawdziwa jeśli co najmniej jedno zdanie jest prawdziwe. Alternatywa jest fałszywa jeśli oba zdania są fałszywe.

„Dziś wieczorem pójdę do babci lub do Ani”.

Implikacja

Symbol implikacji to . Implikacją nazywamy takie zdanie, gdzie „jeśli p, to q”. Oznaczamy je wzorem p => q.

Pierwsze zdanie implikacji nazywa się poprzednikiem, drugie – następnikiem. Implikacja jest fałszywa jeśli poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy.

„Jeżeli odrobisz lekcje, to dostaniesz deser”.

Równoważność

Symbol równoważności to . Równoważnością nazywamy takie zdanie, gdzie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”. Oznaczamy je wzorem p <=> q.

Równoważność jest prawdziwa jeśli oba zdania mają tę samą wartość logiczną. Równoważność jest fałszywa jeśli oba zdania mają różną wartość logiczną.

„Liczba naturalna jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5”.

Negacja

Symbol negacji to ¬ (albo ~). Negacją zdania p nazywamy takie zdanie, gdzie „nieprawda, że p”.

„Nieprawda, że słonie mają skrzydła”.

PRAWA LOGICZNE

Prawem logicznym (prawem rachunku zdań, tzw. tautologią) nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości zdań je tworzących.

Prawa rachunku zdań

• Prawo tożsamości:
Każde zdanie implikuje samo siebie.

• Prawo wyłączonego środka:
Albo zdanie jest prawdziwe, albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie (Z dwóch zdań jedno jest zawsze prawdziwe).

• Prawo sprzeczności:
Nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie oraz jego zaprzeczenie.

• Prawo podwójnego zaprzeczenia:
Dowolne zdanie jest równoważne podwójnej negacji tego zdania.

• Prawo przemienności koniunkcji:

• Prawo łączności koniunkcji:

• Prawo przemienności alternatywy:

• Prawo łączności alternatywy:

• Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:

• Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji:

• Prawo zaprzeczenia implikacji:

Prawo de Morgana

• Pierwsze prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji):

Zaprzeczeniem alternatywy dwóch zdań jest koniunkcja zaprzeczeń tych zdań.

• Drugie prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy):

Zaprzeczeniem koniunkcji dwóch zdań jest alternatywa zaprzeczeń tych zdań.