Logika

Koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność, negacja. Symbole i prawa logiczne, prawo de Morgana.

Logika

Wartościami logicznymi są prawda (oznaczana symbolem 1) i fałsz (oznaczany symbolem 0).

Zdaniem nazywamy wyrażenie, któremu możemy przypisać jedną z wartości logicznych. Przykładowe zdanie: „Jem kanapkę” – o tym zdaniu możemy powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

O czym świadczą białe plamki na paznokciach?

Zdania oznaczamy symbolami p i q.

Przykład:

„Na Ziemi żyją ludzie” (zdanie prawdziwe), „Słońce krąży wokół Ziemi” (zdanie fałszywe).

Wyrażenie „Chodź na spacer” nie jest zdaniem i nie jest sprawdzalne (nie można określić, czy jest prawdziwe, czy fałszywe).

Zdanie złożone składa się ze zdań prostych połączonych spójnikami.

      spójnik

   symbol logiczny

nazwa zdania złożonego

                       i

                

            koniunkcja

                    lub

                

            alternatywa

             jeżeli…, to…

               

             implikacja

   wtedy i tylko wtedy, gdy...

               

         równoważność

         nieprawda, że…

            ¬ albo ~

              negacja

Koniunkcja

Symbol koniunkcji to . Koniunkcją nazywamy takie zdanie, gdzie „p i q”. Oznaczamy je wzorem p ^ q.

Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. Koniunkcja jest fałszywa jeśli co najmniej jedno zdanie jest fałszywe.

„Tata Pawła ma samochód i ma laptopa”.

     p

   q

  p ^ q

     1

     1

     1

     1

     0

     0

     0

     1

     0

     0

     0

     0

Alternatywa

Symbol alternatywy to . Alternatywą nazywamy takie zdanie, gdzie „p lub q”. Oznaczamy je wzorem p v q.

Alternatywa jest prawdziwa jeśli co najmniej jedno zdanie jest prawdziwe. Alternatywa jest fałszywa jeśli oba zdania są fałszywe.

„Dziś wieczorem pójdę do babci lub do Ani”.

   p

     q

   p v q

     1

     1

     1

     1

     0

     1

     0

     1

     1

     0

     0

     0

Implikacja

Symbol implikacji to . Implikacją nazywamy takie zdanie, gdzie „jeśli p, to q”. Oznaczamy je wzorem p => q.

Pierwsze zdanie implikacji nazywa się poprzednikiem, drugie – następnikiem. Implikacja jest fałszywa jeśli poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy.

„Jeżeli odrobisz lekcje, to dostaniesz deser”.

     p

     q

 p => q

     1

     1

     0

     1

     0

     0

     0

     1

     1

     0

     0

     1

Równoważność

Symbol równoważności to . Równoważnością nazywamy takie zdanie, gdzie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”. Oznaczamy je wzorem p <=> q.

Równoważność jest prawdziwa jeśli oba zdania mają tę samą wartość logiczną. Równoważność jest fałszywa jeśli oba zdania mają różną wartość logiczną.

„Liczba naturalna jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5”.

     p

     q

p <=> q

     1

     1

      1

     1

     0

      0

     0

     1

      0

     0

     0

      1

Negacja

Symbol negacji to ¬ (albo ~). Negacją zdania p nazywamy takie zdanie, gdzie „nieprawda, że p”.

„Nieprawda, że słonie mają skrzydła”.

     p

     q

     1

     0

     0

     1

PRAWA LOGICZNE

Prawem logicznym (prawem rachunku zdań, tzw. tautologią) nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości zdań je tworzących.

Prawa rachunku zdań

• Prawo tożsamości:
Każde zdanie implikuje samo siebie.

• Prawo wyłączonego środka:
Albo zdanie jest prawdziwe, albo prawdziwe jest jego zaprzeczenie (Z dwóch zdań jedno jest zawsze prawdziwe).

• Prawo sprzeczności:
Nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie oraz jego zaprzeczenie.

• Prawo podwójnego zaprzeczenia:
Dowolne zdanie jest równoważne podwójnej negacji tego zdania.

• Prawo przemienności koniunkcji:

• Prawo łączności koniunkcji:

• Prawo przemienności alternatywy:

• Prawo łączności alternatywy:

• Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:

• Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji:

• Prawo zaprzeczenia implikacji:

Prawo de Morgana

• Pierwsze prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji):

Zaprzeczeniem alternatywy dwóch zdań jest koniunkcja zaprzeczeń tych zdań.

• Drugie prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy):

Zaprzeczeniem koniunkcji dwóch zdań jest alternatywa zaprzeczeń tych zdań.

SKOMENTUJ
KOMENTARZE (1)
/6 lat temu
w implikacji w tabelce jest błąd- tam gdzie p=1 i q=1 powinno być 1 w wyniku. implikacja bowiem jest fałszywa (czyli ma wartość 0) tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy.