Ciągi liczbowe

Typy ciągów liczbowych

• ciąg liczbowy nieskończony – funkcja, której argumentami są kolejne liczby naturalne 1,2,3… (a: N+ → R),
• ciąg liczbowy skończony – funkcja, której argumentami jest określona ilość liczb naturalnych, np. 1,2,…,8 (a: <1,2,…,8> → R),
• ciąg rekurencyjny – ciąg, w którym znana jest pierwsza liczba ciągu oraz reguła, która pozwala na obliczenie kolejnych liczb ciągu,
• ciąg rosnący – to ciąg a_n, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność a_n + 1 > a_n,
• ciąg malejący – to ciąg a_n, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność
  a_n + 1 < a_n,
• ciąg nierosnący – ciąg a_n, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność
  a_n + 1 ≤ a_n,
• ciąg niemalejący – ciąg a_n, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność
  a_n + 1 ≥ a_n,
• ciąg stały – ciąg a_n, w którym wszystkie wyrazy danego ciągu są sobie równe.

Ciąg arytmetyczny

Jest to ciąg a_n dla którego istnieje taka liczba r, że spełniony jest warunek dla n ≥ 1, gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego;

• jeżeli r > 0 to ciąg arytmetyczny jest ciągiem rosnącym;
• jeżeli r < 0 to ciąg arytmetyczny jest ciągiem malejącym;
• jeżeli r = 0 to ciąg arytmetyczny jest ciągiem stałym.

Wyraz n-ty ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a₁ i różnicy r wyraża się wzorem:

a_n = a₁ + (n – 1) • r

Suma początkowych wyrazów

Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: .

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny – ciąg an którego istnieje taka liczna q, że spełniony zostaje zawsze warunek, że a_n + 1 = a_n • q, gdzie q jest nazywane ilorazem ciągu geometrycznego; jeśli:

• q < 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem naprzemiennym;
• q = 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem stałym;
• 0 < q < 1 i a1 < 0 to ciąg geometryczny nazwywamy ciągiem rosnącym;
• q > 1 i a1 < 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem rosnącym;
• 0 < q < 1 i a1 > 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem malejącym;
• q > 1 i a1 > 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem malejącym.

Wyraz n-ty ciągu geometrycznego oblicza się za pomocą wzoru: a_n = a₁ • q^{n - 1},
gdzie a₁ jest pierwszym wyrazem ciągu, a q jest ilorazem ciągu geometrycznego.

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: .