Ciągi liczbowe

Definicja, typy ciągów liczbowych, suma początkowych wyrazów.

Ciągi liczbowe

Typy ciągów liczbowych

  • ciąg liczbowy nieskończony – funkcja, której argumentami są kolejne liczby naturalne 1,2,3… (a: N+ → R),
  • ciąg liczbowy skończony – funkcja, której argumentami jest określona ilość liczb naturalnych, np. 1,2,…,8 (a: <1,2,…,8> → R),
  • ciąg rekurencyjny – ciąg, w którym znana jest pierwsza liczba ciągu oraz reguła, która pozwala na obliczenie kolejnych liczb ciągu,
  • ciąg rosnący – to ciąg an, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność an + 1 > an,
  • ciąg malejący – to ciąg an, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność
    an + 1 < an,
  • ciąg nierosnący – ciąg an, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność
    an + 1 ≤ an,
  • ciąg niemalejący – ciąg an, w którym dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność
    an + 1 ≥ an,
  • ciąg stały – ciąg an, w którym wszystkie wyrazy danego ciągu są sobie równe.

Ciąg arytmetyczny

Jest to ciąg an dla którego istnieje taka liczba r, że spełniony jest warunek dla n ≥ 1, gdzie r to różnica ciągu arytmetycznego;

  • jeżeli r > 0 to ciąg arytmetyczny jest ciągiem rosnącym;
  • jeżeli r < 0 to ciąg arytmetyczny jest ciągiem malejącym;
  • jeżeli r = 0 to ciąg arytmetyczny jest ciągiem stałym.

Wyraz n-ty ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r wyraża się wzorem:

O czym świadczą białe plamki na paznokciach?

an = a1 + (n – 1) • r

Suma początkowych wyrazów

Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem: .

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny – ciąg an którego istnieje taka liczna q, że spełniony zostaje zawsze warunek, że an + 1 = an • q, gdzie q jest nazywane ilorazem ciągu geometrycznego; jeśli:

  • q < 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem naprzemiennym;
  • q = 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem stałym;
  • 0 < q < 1 i a1 < 0 to ciąg geometryczny nazwywamy ciągiem rosnącym;
  • q > 1 i a1 < 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem rosnącym;
  • 0 < q < 1 i a1 > 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem malejącym;
  • q > 1 i a1 > 0 to ciąg geometryczny nazywamy ciągiem malejącym.

  

Wyraz n-ty ciągu geometrycznego oblicza się za pomocą wzoru: an = a1 • qn - 1,
gdzie a1 jest pierwszym wyrazem ciągu, a q jest ilorazem ciągu geometrycznego.

  

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: .

SKOMENTUJ
KOMENTARZE (0)